选项
A.
A.$A+B$是正定的；
B.
B.$AB$是正定的；
C.
C.$A-B$是正定的；
D.
D.$A^{-1}+B^{-1}$是正定的.
正确答案：
名词解析
若矩阵$A,B$都是正定矩阵，则关于任意非零列向量$X$，$$X^{'}(A+B)X=X^{'}AX+X^{'}BX>0.$$所以$A+B$是正定的；又$A$正定，则有可逆矩阵$C$,使得$A=C^{'}C$,于是$A^{-1}=C^{-1}(C^{-1}){'}$,所以$A^{-1}$也是正定的,因此当$A,B$都正定时，$A^{-1}+B^{-1}$也是正定的.